Adelering

Der Adelering wird in der Zahlentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, definiert. Er steht im Zusammenhang mit der Klassenkörpertheorie. Der Adelering ist das restringierte Produkt aller Vervollständigungen eines globalen Körpers. Damit enthält er alle diese Vervollständigungen.

Der Adelering ist ein selbstdualer, topologischer Ring, welcher auf Grundlage eines globalen Körpers konstruiert wird. Er ermöglicht eine besonders elegante Darstellung des Artinschen Reziprozitätsgesetzes.

Die Idelklassengruppe, welche der Quotient aus den Einheiten des Adelerings und den Einheiten des Körpers ist, stellt ein zentrales Objekt in der Klassenkörpertheorie dar.

Notation: Im Folgenden ist ${\displaystyle K}$ ein globaler Körper. Das bedeutet, dass ${\displaystyle K}$ entweder ein algebraischer Zahlkörper oder ein algebraischer Funktionenkörper positiver Charakteristik vom Transzendenzgrad 1 ist. Im ersten Fall bedeutet das, dass ${\displaystyle K/\mathbb {Q} }$ eine endliche Körpererweiterung ist, im zweiten Fall, dass ${\displaystyle K/\mathbb {F} _{p^{r}}(t)}$ eine endliche Körpererweiterung ist.

Im Folgenden bezeichnet ${\displaystyle v}$ eine Stelle von ${\displaystyle K.}$ Die triviale Bewertung und der dazu korrespondierende triviale Betrag werden im kompletten Artikel ausgeschlossen. Es wird unterschieden zwischen endlichen (nicht-archimedischen) Stellen, welche als ${\displaystyle v<\infty }$ oder ${\displaystyle v\nmid \infty }$ notiert werden, und unendlichen (archimedischen) Stellen, welche als ${\displaystyle v\mid \infty }$ notiert werden.

Im Folgenden bezeichne ${\displaystyle P_{\infty }}$ die endliche Menge der unendlichen Stellen von ${\displaystyle K.}$ Wir schreiben ${\displaystyle P}$ für eine endliche Teilmenge der Stellenmenge von ${\displaystyle K,}$ welche ${\displaystyle P_{\infty }}$ enthält. Sei ${\displaystyle K_{v}}$ die Vervollständigung von ${\displaystyle K}$ nach einer Stelle ${\displaystyle v.}$ Bei einer diskreten Bewertung ${\displaystyle v}$ bezeichne mit ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{v}}$ den zugehörigen diskreten Bewertungsring von ${\displaystyle K_{v}}$ und mit ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{v}}$ das maximale Ideal von ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{v}.}$ Ist dieses ein Hauptideal, so schreibe ${\displaystyle \pi _{v}}$ für ein uniformisierendes Element. Der Leser sei weiterhin auf die eineindeutige Identifikation von Beträgen und Bewertungen eines Körpers hingewiesen bei Fixierung einer geeigneten Konstante ${\displaystyle C>1:}$ Die Bewertung ${\displaystyle v}$ wird dem Betrag ${\displaystyle |\cdot |_{v}}$ zugeordnet, welcher wie folgt definiert wird:

${\displaystyle |x|_{v}:={\begin{cases}C^{-v(x)}&,{\text{ falls }}x\neq 0\\0&,{\text{ falls }}x=0\end{cases}}\quad \forall x\in K.}$

Umgekehrt wird dem Betrag ${\displaystyle |\cdot |}$ die Bewertung ${\displaystyle v_{|\cdot |}}$ zugeordnet, welche wie folgt definiert ist: ${\displaystyle v_{|\cdot |}(x):=-\log _{C}(|x|)}$ für alle ${\displaystyle x\in K^{\times }.}$ Diese Identifikation wird im Artikel laufend verwendet.

Im Artikel wird das restringierte Produkt mit ${\displaystyle {\widehat {\prod }}^{{\mathcal {O}}_{v}}K_{v}}$ notiert. Eine andere geläufige Notation dafür ist ${\displaystyle \prod \limits (K_{v},{\mathcal {O}}_{v}).}$